※文中の「効率」とは経済的な効率をさします．時間は関係ありません．
ストーリーの途中から手に入るハイパーボール．
このボール，モンスターボールにくらべ捕獲率が２倍になりますが，値段は6倍（モンスターボール200円，ハイパーボール1200円）になります．
よく攻略サイトなどでは，伝説のポケモンを捕まえるときはハイパーボール連打を推奨したりしていますが，どうなのでしょうか？本当でしょうか？
また，伝説のポケモンは逃げませんが，ケーシィなどは１ターンで逃げてしまいます．このときはどちらをなげると効率的でしょうか？
何回もエンカウントしたほうが良いのでしょうか？それともハイパーボールで短期決戦を図るべきでしょうか？
この問題を今から解いていきます．
結論は各章の番最後にでますので面倒な方は飛ばしてください．

値段の関係より，1回ハイパーボールを投げた場合の捕獲確率と6回モンスターボールを投げた場合の捕獲確率（y[％]）を求めます． モンスターボールを使用した際の捕獲率をx[％]とします．この場合，xが50より大きくなるとハイパーボールが100％以上になってしまうので50以下と50より大きい場合で 式をわけます．

[xが50以下]
モンスターボール：y=100-(((100-x)/100)^6 * 100)
ハイパーボール　：y=100-2x
（ 0 <= x  <= 50 ）
[xが50より大きい]
モンスターボール：y=100-((x/100)^6 * 100)
ハイパーボール　：y=100

それぞれの場合についてグラフで見てみましょう．
青線はモンスターボール，黄緑線はハイパーボールです．

[図1-1：xが50以下の場合]

[図2-2：xが50より大きい場合]

図1-1を見ると，最初はモンスターボールが捕獲率が勝っています．しかしあるところでハイパーボールに抜かれています．
図1-2を見ても，結局勝っていません．では抜かれているポイントは？
グラフの交点を求めればいいですね．
早速解いてみましょう．数式処理システムに感謝です．

 解：[x = 49.13395638629284, y = 98.26792452830189]

約49%で抜かれるようです．
まず，文頭で紹介した，伝説ポケモンたちはどうなのでしょうか？
経験としては明らかにモンスターボールだと約49％未満ですが，一応．

まずは式を確認です．詳しくはここ（別サイト）を参考にしてください．複雑ですね．
とりあえず上のサイトの最初の式が255以上になる，という条件は今回は関係ありません．
次です．（16進数は10進数に変換してあります．）ｙ[％]が捕獲確率です．

y=((1048560 / (((16711680/z)^0.5)^0.5))/65535)^4
z = ( ( ( 最大HP*3-現在HP*2 )*被捕獲度*ボール補正 ) / ( 最大HP*3 ) )*状態補正
※捕獲度はカイオーガ，グラードンは5，それ以外の伝説ポケモンは3

ではといてみましょう．yが49以上になればハイパーボールが有利になります．

49.13395638629284 < ((1048560 / (((16711680/z)^0.5)^0.5))/65535)^4
z > 125.29158878504672897196261682243
※MAXIMAは不等式が解けないようなので等式で解いて自分で不等式に直します．

さてｚが約125以上です．こんどからはHP等が関係するので，HPが1の場合，さらに眠らせた場合，など場合を分けて被捕獲度を計算してみましょう．
（何回も言いますが上のｚが125，ｙが49%というのはモンスターボールの時の値です）

[何もしない]
125.29158878504672897196261682243 < (((最大HP*3-現在HP*2 )*被捕獲度*ボール補正 )/( 最大HP*3))*状態補正
を以下のように概算します．
125.3 < ( ( 最大HP*被捕獲度*1) / (最大HP*3))*状態補正
125.3 < 1/3 * 被捕獲度
被捕獲度 > 375.9

被捕獲度は255までなので，何もしない状態でハイパーボールのほうが有利になるポケモンは存在しません．

[HPが1]
125.29158878504672897196261682243 < (((最大HP*3-現在HP*2 )*被捕獲度*ボール補正 )/( 最大HP*3))*状態補正
を全ポケモンに適用できるように概算となってしまいますが以下の形に直します．
(内容としては(現在HP*2)を0として計算しました．)
125.3 < 被捕獲度

よってHPをみねうち等で1にした場合被捕獲度約126以上のポケモンがハイパーボールの方が有利です．

[こおり，ねむり HP最大]
こおり，ねむり状態になると被捕獲度が2倍になります．
125.29158878504672897196261682243 < (((最大HP*3-現在HP*2 )*被捕獲度*ボール補正 )/( 最大HP*3))*状態補正
を以下のように概算します．
125.3 < 1/3 * 被捕獲度 * 2
187.95 < 被捕獲度

よってキノコのほうし(ちなみに命中率100%)等で眠らせただけの場合，被捕獲度約188以上のポケモンがハイパーボールの方が有利です．

[まひ，どく．やけど HP最大]
まひ，どく，やけど状態になると被捕獲度が1.5倍になります．
125.29158878504672897196261682243 < (((最大HP*3-現在HP*2 )*被捕獲度*ボール補正 )/( 最大HP*3))*状態補正
を以下のように概算します．
125.3 < 1/3 * 被捕獲度 * 1.5
250.6 < 被捕獲度

よってでんじは等でまひ状態などにした場合，被捕獲度約251以上のポケモンがハイパーボールの方が有利です．

[こおり，ねむり HP1]
125.3 < 被捕獲度 * 2
62.65 < 被捕獲度

よってこおり，ねむり状態にした上でHPをみねうち等で1にした場合，被捕獲度約63以上のポケモンがハイパーボールのほうが有利です．

[まひ，どく．やけど　HP1]
125.3 < 被捕獲度 * 1.5
83.5333333･････ < 被捕獲度

よってまひ，どく．やけど状態にした上でHPをみねうち等で1にした場合，被捕獲度約84以上のポケモンがハイパーボールのほうが有利です．

では表にしてまとめてみましょう．

結論です.

[結論]

1. ハイパーボールのほうが効率的な主なポケモン（ポケットモンスター情報センターのポケモンずかんで 被捕獲度を調べればここに載っていなくてもすぐ上の表から調べることができます.その被捕獲度が載っているページはこちら（別サイト））

   ハイパーボールのほうが効率的な主なポケモン

   HP	状態	ハイパーボールの方が効率的になるポケモン
   最大	けんこう	存在しない
   	こおり，ねむり	ピカチュウ，ニドラン♂♀，ロコン，パラス，コンパン，コダック， マンキー，ガーディー，ケーシィ，メノクラゲ，ポニータ，ヤドン， コイル，ドードー，パウワウ，ベトベター，シェルダー，ゴース， スリーパー，シェルダー，カラカラ，ドガース・・・など そして（HP最大でまひ，どく，やけど）の表のポケモン
   	まひ，どく，やけど	キャタピー，ビードル，ポッポ，コラッタ， オニスズメ，アーボ，サンド，ズバット，ディグダ，ニャース， ニョロモ，マダツボミ，イシツブテ，クラブ，タッツー，トサキント， ヒトデマン，コイキング，オタチ，ホーホー，レディバ・・・など
   残り1	けんこう	ラッタ・・・など そして （HP最大でこおり，ねむり）， （HP最大でまひ，どく，やけど）の表のポケモン
   	こおり，ねむり	ライチュウ・キュウコン，パラセクト，モルフォン，ゴルダック， オコリザル，ウインディ，ヤドラン，ジュゴン，ベトベトン， スリーパー，ガラガラ，シードラ・・・など そして （HP最大でこおり，ねむり）， （HP最大でまひ，どく，やけど） （HPのこり１，けんこう） （HPのこり１，まひ，どく，やけど）の表のポケモン
   	まひ，どく，やけど	トランセル，コクーン，ピジョン，オニドリル，アーボック， サンドパン，二ドリーナ，ニドリーノ，ゴルバット，クサイハナ， ニョロゾ，ゴーリキー，ウツドン，ゴローン，タマタマ， サイホーン・・・など そして （HP最大でこおり，ねむり）， （HP最大でまひ，どく，やけど） （HPのこり１，けんこう）の表のポケモン

   
   
2. 伝説系の場合はどうあがいてもモンスターボールのほうが有利
3. 被捕獲が高めなポケモン(一般的に”ザコ”)にハイパーボールを使うのはさらに非効率的
4. ハイパーボールをなげて効率的といっても1%程度なので気にしなくてもいいかもしれない

1ターンで逃げるポケモンの場合，当然ですが1回しか投げられません．
よって[1]のように「モンスターボールはハイパーボール六回分」といった発想はできません．
ここでは期待値の計算を行います．
モンスターボールでの捕獲確率をa[%]，
モンスターの値段（ケーシィの場合はタマムシでの値段？）をb[円]とすると

b * (a/100) < (b * (2a / 100)) - 1000

が満たされる場合，ハイパーボールのほうが効率的です．解くと

b*a > 100000(10万)

です．こちら（別サイト）のツールを使えば早いとおもいます．ケーシィで調べてみましょう．
設定は１ターンでしか捕獲できませんから，当然健康のＨＰ率100%です．
捕獲率は27.97%とでました．ハイパーボールのほうが効率的になる値段を解きますと

27.97 * b > 100000
b > 3575.2592062924562030747229174115

3576円以上だとハイパーボールが効率的なようです．ゲーム中のタマムシでの値段は2400円ですから，モンスターボールを使ったほうが効率的です．

[結論]

1. ケーシィを捕まえるときはモンスターボールが効率的

• MAXIMA：数式処理システム
  http://www.ma.utexas.edu/users/wfs/maxima.html（アメリカの本家）
  http://phe.phyas.aichi-edu.ac.jp/~cyamauch/maxima/（日本の詳しい解説サイト）
  計算はほぼこれで行いました．
  ちなみに文中で使用したグラフは，
  図1-1：plot2d( [(100-((((100-x)/100)^6) * 100)), (2*x)], [x,0,50]);
  図1-2：plot2d( [(100-((((100-x)/100)^6) * 100)), (100)], [x,50,100]);
  というコマンドを打つと出ます．また，グラフの交点を求めるには，
  solve( [y=1-(((100-x)/100)^6),y=(2*x)/100] ,[x,y]);
  というコマンドを利用してください．たくさん結果がでますが，本文中では条件に合うものだけを抜粋しています．
  

• ポケットモンスター情報センター2号館
  ボール関連の処理について参考にさせていただきました．